그리고 영점과 극점으로 시스템을 조정하며, 해석으로는 근-궤적법과 나이퀴스트 접근법이 있다.
극점과 영점을 조정하는 것은 즉, PID 제어가 된다.
현대제어에서는 시스템을 다수 입력과 다수 출력의 상태 방정식으로 나타낸다.
상태 변수와 입력 변수가 존재하며, 상태 피드백 제어기 또는 관측기로 시스템을 제어할 수 있다.
이는 외란 관측기에 사용되기도 한다.
먼저, 고전제어에 대해 알아보자.
시스템은 전달함수 형태로 만들어지며, 극점과 영점이 있다.
극점(Pole): 분모가 0이 되는 s-평면의 한 점
영점(Zero): 분자가 0이 되는 s-평면의 한 점
아래 수식을 보자.
극점은 -3과 -4이고, 영점은 -2이다.
왜 극점과 영점이라 부르는지 보자.
s에 -3 또는 -4를 입력하면 분모가 0이 되어 G(s)는 극한으로 발산하므로, 이 값을 극점이라 부른다.
s에 -2를 입력하면 분자가 0이 되어 G(s)는 0이 되므로, 이 값을 영점이라 부른다.
이제 극점과 영점의 역할을 알아보자.
1) S-평면의 좌측에 있어야 시스템이 안정해진다.
2) 원점으로부터 왼쪽으로 멀어질수록 반응 속도가 빨라진다.
3) 허수부 값이 클수록 진동이 커진다.
4) 극점(=분모)이 추가될수록 시스템의 응답은 느려지고 안정도가 떨어진다.
이는 적분게인이 추가되는 것과 같다. 정상상태 오차를 줄여주지만, 응답이 약간 느려지고 안정성이 떨어지게 된다.
5) 영점이 추가되면 근궤적을 왼쪽으로 당기는 효과가 있어 시스템의 안정도를 높여준다.
이는 미분게인이 추가되는 것과 같다. 안정성을 높일 수 있다.
※ 적분 게인은 과거 편차를, 비례 게인은 현재 편차를, 미분 게인은 미래 편차를 사용한다. 따라서, 미래 편차를 예상할 수 없는 시스템의 경우엔 사용하지 않는 편이 좋다.
그림 1은 각각 극점이 1, 2, 3개인 시스템을 보여준다. 극점이 3개가 되면 경우에 따라 시스템이 불안정해지기도 한다. 되도록이면 극점이 2개 이하인 시스템으로 만들면 좋다.
<그림 1. 극점의 효과> 그림 2는 영점의 위치에 따른 시스템의 안정성이 어떻게 변하는지 보여준다. (a)는 극점이 3개인 시스템이다. (b)~(d)는 영점이 0에 가까울수록 시스템이 안정되는 것을 보여준다. (d)에서는 영점이 극점과 매우 가까우며, 그 값은 거의 0이다. 영점과 극점이 둘 다 0이 되어버린다면, 극점이 하나 상쇄되는 것이므로 시스템이 무척 안정화된다. 바로 밑에서 이를 설명한다. <그림 2. 영점의 효과> 극점이 3개 이상이라면? 극점-영점 상쇄를 통해 강제로 극점을 낮추는 방법이 있다. 아래와 같이 극점과 영점이 동일한 점이 있는 경우, 소거를 통해 없앨 수 있다. 뒤에서 기술할 PI 제어기 설계는 극점-영점 상쇄를 이용하여 게인값을 설정한다. 아래에서 설명하도록 한다. <극점-영점 상쇄 기법>
MATLAB/SIMULINK를 통해 고전제어를 이해해보자.
스크립트를 작성해보자.
임의의 모터 정수와 게인 값을 사용한다.
J는 관성모멘트, T는 모터 회전자 시정수, B는 점성마찰계수, Kpp는 위치제어기의 P 게인, Kvp는 속도제어기의 P게인, Kvi는 속도제어기의 적분시정수, IR은 관성비를 의미한다.
위에서 "극점-영점 상쇄 기법"을 설명했다. 적분 시정수인 Kvi가 10인 이유가 여기에서 나온다. 그림 3에서 속도 제어 루프를 살펴보자. <그림 3. 속도 제어 루프> 속도 제어 루프를 전달함수로 나타내면 다음과 같다. 관성모멘트와 회전자 시정수 Tshaft를 알고 있으므로, 아래의 수식과 같이 전달함수가 간단해진다. 회전자 시정수 Tshaft는 적분 시정수 IT와 동일하기 때문이다. 실제 시스템에서는 J와 B의 값을 정확히 추정하기 어렵다. 특히 로봇의 경우 관성모멘트 J의 값을 정확히 추정하기 어려운 경우가 많다. 게다가 점성마찰계수 B의 값을 기계의 상태에 따라 값이 변하고 그 편차가 심한 편이다. 그래서 관성모멘트 J를 실제보다 낮게 설정하는 일도 있으며, B는 상황에 따라 조정하기도 한다.
여기에 더불어, 그림 4를 통해 극점-영점 상쇄가 되어 있는 위치-속도 제어루프를 고려해보자. <그림 4. 위치-속도 제어 루프> 그림 4를 전달함수로 풀면 아래의 수식으로 나타낼 수 있다. 즉, 모터 파라미터를 정확하게 알고 있다면, "극점-영점 상쇄"으로 이 시스템을 2차 시스템으로 해석할 수 있다.
