DQ 변환 - 그림 설명

3상 교류 전동기를 제어하는데 가장 기본이 되는 DQ 변환(DQ-Transformation)에 대해 알아보자.

D는 Direct를 의미하고, Q는 Quadrature를 의미한다.

D축은 자속을 발생시키는 축이고, Q축은 토크(회전력)을 발생시키는 축이다.

 

DQ 변환은 3상 교류 파형을 2상 직류 파형으로 나타내는 기법이다.

 

수식으로 설명하기보단 그림을 보면서 어떻게 DQ 변환을 하는지 설명한다.

TI 사의 DQ 변환과 관련된 데이터 시트를 참고하여 나타냈다.

그림 설명 이후에 수식으로 설명한다.

<그림 1. DQ 변환>

 

그림 1은 TI사의 DQ 변환 수식을 참고로 만든 것이다.

가로축은 각도(˚)를 나타내고, 세로축은 벡터의 크기를 나타낸다.

즉, UVW상, αβ상, DQ상의 벡터합은 모두 동일다.

 

UVW상에서 αβ상으로의 변환을 "Clarke 변환"이라 부르고,

αβ상에서 DQ상으로의 변환을 "Park 변환"이라 부른다.

이를 합쳐서 UVW상에서 DQ상으로의 변환을 "DQ 변환" 또는 "Clarke-Park 변환"이라 부른다.

(Clarke 변환과 Park 변환의 역사는 글의 맨 아래에서 소개한다.)

 

그림 1을 분석해보자.

UVW상은 각각 120˚만큼의 위상차를 가지며, αβ상은 90˚만큼의 위상차를 가진다.

그리고 UVW상의 U상과 αβ상의 α상은 위상이 동일하다.

즉, U상과 α상의 축의 방향은 동일하다.

(ab상으로 되어 있지만 αβ상으로 이해하자)

UVW상에서 αβ상으로의 변환은 교류에서 교류로의 변환이었다.

그런데, 갑자기 αβ상의 교류 파형이 DQ상의 직류 파형으로 바뀌었다?

이를 그림 2를 통해 알아보자.

그림 2는 UVW상, αβ상, DQ상을 벡터로 나타낸 것이다.

<그림 2. DQ 변환의 벡터선도>

 

 

첫 번째 그래프를 보자. 그림 2에서 UVW상은 각각 120˚만큼 떨어져 있으며, 지속적으로 값이 바뀌고 있다. 그리고 UVW상을 벡터 합성하면 하늘색의 파형이 된다. 이 합성 벡터(하늘색)의 크기는 동일하며 반시계 방향으로 회전하고 있다.

 

 

두 번째 그래프를 보자. αβ상은 90˚만큼 떨어져 있으며, U상과 α상은 축의 방향이 동일하다. 기존의 3상 교류 파형을 2상 교류 파형으로 바꿔도 αβ상의 합성 벡터는 UVW상의 것과 동일하다. 이러한 변환 기법을 "Clarke 변환"이라 부른다. 

 

 

세 번째 그래프를 보자. DQ상은 90˚만큼 떨어져 있으며 반시계 방향으로 회전하고 있다. DQ축은 합성 벡터(하늘색)과 동일한 속도로 회전하고 있기 때문에 DQ상의 크기는 변함없다. 이러한 αβ상에서 DQ상으로의 변환을 "Park 변환"이라 부른다.

 

 

 

 

 

위와 같이, UVW상에서 DQ상으로 변환하는 것을 "DQ 변환"이자 "Clarke-Park 변환"이라 부른다.

반대로, DQ상에서 UVW상으로 변환하는 것을 "DQ 역변환"이라 부른다.

(별다르게 DQ 역변환이라 부르지 않고 DQ 변환이라 통칭하는 것 같다.)

자, 이제 DQ 변환에 대해 이해했으니 어떻게 제어기 설계가 간단해지는지 알아보자.

 

3상 교류 파형을 지령으로 만들지 않고, 2상 직류 파형으로 지령을 만들기 때문에 제어기의 설계가 간단해졌다.

그렇다면 제어기 설계를 어떻게 해야 할까?

(제어기 중에서도 전류 제어기에 해당한다. 전류제어기의 출력은 전압이고, 이 지령값이 PWM 기법을 통해 FET로 전달되어 모터에 전달되기 때문이다.)

 

DQ상의 전류 PI 제어기를 설계하여 DQ상 전압 지령을 얻는다. 그리고 DQ 역변환을 통해 UVW 전압 지령으로 변환한 뒤, PWM과 FET를 거쳐 고정자 권선에 3상 전류를 흐르게 하면 회전 자계가 발생한다.

 

이렇게 하면 DQ 변환을 통해 벡터제어를 할 수 있다.

나중에 알아볼테지만, 3상 교류 전동기의 제어를 2상 직류 전동기의 제어처럼 간단하게 모델링할 수 있기 때문에 해석 또한 매우 간단해진다.

그래서 직류 전동기의 특성으로 분석하면 된다.

이러한 이유에서 3상 교류 전동기에 대한 제어가 소개할 때, 직류 전동기에 대한 소개가 동반되는 것이다.

궁극적으로 3상 교류 전동기를 제어하지만, 제어 기법은 마치 직류 전동기의 제어와 비슷하기 때문에!

 

그렇다면 단순히 D상과 Q상의 크기만 알면 되는 것일까?

아니다. 하나가 더 필요하다.

DQ축을 합성 벡터와의 각도차이 값을 필요로 한다.

만약 각도차를 0으로 하면 D상과 합성 벡터가 동일한 위상으로 회전하여, 그림 3처럼 Q상의 값이 0이 된다.

D축은 α축과 동일하게 정렬된 상태로 회전한다.

 

<그림 3. Iq=0일 떄의 DQ 변환>

 

D축과 Q축의 의미를 다시 한 번 살펴보자.

표면부착형 PMSM에서는 D축 전류를 0으로 하는 제어를 사용한다.

Id=0으로 하여 그림 4으로 살펴보자.

 

<그림 4. Id=0일 때의 DQ 변환>

 

반시계방향을 각도(θ)가 증가하는 방향이라고 한다면, 그림 4에서는 α축이 90도만큼 뒤처져 있다.

 

DQ 축의 의미를 다시 한 번 되새겨보자.

D축은 자속을 발생하는 축이고, Q축은 회전력(토크)를 발생하는 축이다.

그렇다면, 최대 토크를 얻기 위해서 어떻게 하면 될까?

PMSM의 특성을 다시 되새겨보자.

회전자계와 영구자석의 자계가 이루는 각이 90˚만큼 떨어져 있을 때 최대 토크를 발생한다고 했다.

어떻게 각도를 90˚만큼 떨어져 있게 만들까?

답은 간단하다.

 

그림 4와 같이 D축 지령을 0으로 하고, Q축 지령만 입력하면 최대 토크를 얻을 수 있다.

 

즉, D축 지령을 0으로 하면 자동으로 α축과 D축의 위상차는 90˚만큼 떨어지게 되는 것이다.

 

여기서 다시 한 번 정리하면 다음과 같다.

 

위치-속도 제어기의 출력인 토크 지령을 Q상 전류 PI 제어기에 입력하고, D상 전류 PI 제어기의 입력 지령을 0으로 한다.

 

(나중에 약계자 제어를 사용할 때는 D축 전류 지령을 음수로 하기도 한다. 나중에 설명하도록 한다.)

 

이로써 DQ 변환에 대해 알아보았다.

DQ 변환과 벡터 제어는 빼놓을 수 없는 관계이다.

어떻게 상변환이 되는지 이해하고 나면 벡터 제어를 이해하기 쉬워진다.

다음 글에서 수식을 풀어가면서 마무리를 지어보자.